Définition exacte, formule de Stirling, rôle dans la détection des zéros de $\zeta$ — animé et interactif.
Ce cours est le premier de la série. Dans le cours n°3 on verra que les zéros de $\zeta$ sur la droite critique sont exactement les changements de signe de $Z(t)$. Pour construire $Z(t)$, on a besoin de $\theta(t)$ : c'est l'objet de ce cours.
La fonction de phase de Riemann-Siegel $\theta(t)$ est définie par :
C'est une fonction réelle et continue pour $t>0$. Elle mesure l'angle accumulé par la fonction zêta sur la droite critique. La branche du logarithme est choisie de manière à ce que $\theta(0) = 0$.
La définition via $\Gamma$ n'est pas commode pour le calcul numérique. On utilise l'approximation asymptotique ci-dessous.
Pour $t \geq 20$, l'approximation est précise à mieux que $10^{-9}$ :
Le terme dominant est $\tfrac{t}{2}\ln\tfrac{t}{2\pi} - \tfrac{t}{2}$. Les corrections $-\tfrac{\pi}{8}$ et $\tfrac{1}{48t}$ viennent du développement de Stirling de $\ln\Gamma$. Croissance asymptotique : $\theta(t) \sim \tfrac{t}{2}\ln t$ quand $t\to+\infty$ : $\theta$ croît sans borne, mais lentement.
La factorisation de Hardy-Siegel relie $\zeta$ sur la droite critique à une fonction réelle :
$\zeta(\tfrac{1}{2}+it)$ est un nombre complexe : il pointe dans une direction quelconque dans $\mathbb{C}$. En multipliant par $e^{-i\theta(t)}$, on le contra-rotationne exactement de la bonne phase, et le résultat $Z(t)$ atterrit sur l'axe réel. $\theta(t)$ est la phase intrinsèque de $\zeta$ sur la droite critique.
$Z(t)$ est calculé efficacement via la formule de Riemann-Siegel :
La factorisation donne immédiatement :
puisque $e^{-i\theta(t)}\neq 0$ pour tout $t\in\mathbb{R}$. Chercher les zéros de $\zeta$ sur la droite critique revient à chercher les racines réelles de $Z(t)$. On passe d'un problème complexe à une recherche de racines réelles classique. En pratique :
mpmath.siegelz)Notons $N(T)$ le nombre de zéros $\rho = \sigma + i\gamma$ avec $0 < \gamma \leq T$. La formule de Backlund (1918) :
En pratique $|S(T)| \leq 3$ pour tous les $T$ calculés. La formule de von Mangoldt donne l'approximation principale :
Test de Turing : si le nombre de changements de signe de $Z$ dans $[0,T]$ coïncide avec $\lfloor\tfrac{\theta(T)}{\pi}\rfloor+1$, il ne manque aucun zéro dans cet intervalle. Le projet Riemann_Lab applique ce test sur les 10 142 zéros calculés jusqu'à $T=10\,000$ — résultat : aucun manquant.
| $n$ | $\gamma_n$ | $\theta(\gamma_n)$ | $\lfloor\theta(\gamma_n)/\pi\rfloor + 1$ | $N(\gamma_n)$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 14,134 725… | −1,729 rad | 0 | 1 |
| 2 | 21,022 039… | 1,787 rad | 1 | 2 |
| 3 | 25,010 857… | 4,091 rad | 2 | 3 |
| 4 | 30,424 876… | 7,254 rad | 3 | 4 |
| 5 | 32,935 061… | 8,863 rad | 3 | 5 |
| 6 | 37,586 178… | 12,038 rad | 4 | 6 |
| 7 | 40,918 719… | 14,248 rad | 5 | 7 |
| 8 | 43,327 073… | 15,826 rad | 6 | 8 |
| 9 | 48,005 150… | 18,920 rad | 7 | 9 |
| 10 | 49,773 832… | 20,095 rad | 7 | 10 |
Valeurs $\theta$ calculées par la formule asymptotique. Source zéros : lmfdb.org/zeros/zeta/