Où vivent-ils, comment les détecter via $Z(t)$, et ce que l'Hypothèse de Riemann affirme — animé et interactif.
Dans le cours n°1 on a vu que $Z(t)$ est réelle. Dans le cours n°2 on a vu que la calculer coûte cher. Ici on regarde les racines de cette fonction : les $\gamma_n$ tels que $Z(\gamma_n)=0$, qui sont exactement les parties imaginaires des zéros non-triviaux de $\zeta$.
$\zeta(s)$ possède deux types de zéros :
L'équation fonctionnelle $\xi(s)=\xi(1-s)$ impose deux symétries sur tout zéro $\rho=\sigma+i\gamma$ :
Si $\sigma\neq\tfrac{1}{2}$, on obtient un quadruplet $\{\rho,\,\bar\rho,\,1-\rho,\,1-\bar\rho\}$. Si $\sigma=\tfrac{1}{2}$, le quadruplet se réduit à une paire $\{\tfrac{1}{2}+i\gamma,\,\tfrac{1}{2}-i\gamma\}$. L'HdR affirme que seul ce cas se produit.
Le curseur "afficher N zéros" les fait apparaître un à un sur la droite critique. Le curseur "HR ?" déplace le dernier zéro hors de $\text{Re}(s)=\tfrac{1}{2}$ et montre le symétrique imposé par l'équation fonctionnelle.
La factorisation $\zeta(\tfrac{1}{2}+it)=e^{-i\theta(t)}Z(t)$ ramène la recherche de zéros à la détection de signes de la fonction réelle $Z(t)$. Avance le curseur : les $\gamma_n$ apparaissent là où $Z$ change de signe.
| n | $\gamma_n$ (partie imaginaire) | $\text{Re}(\rho_n)$ mesuré | $N(\gamma_n)$ attendu |
|---|---|---|---|
| 1 | 14,134 725 141… | = ½ | 1 |
| 2 | 21,022 039 639… | = ½ | 2 |
| 3 | 25,010 857 580… | = ½ | 3 |
| 4 | 30,424 876 126… | = ½ | 4 |
| 5 | 32,935 061 588… | = ½ | 5 |
| 6 | 37,586 178 159… | = ½ | 6 |
| 7 | 40,918 719 012… | = ½ | 7 |
| 8 | 43,327 073 281… | = ½ | 8 |
| 9 | 48,005 150 881… | = ½ | 9 |
| 10 | 49,773 832 478… | = ½ | 10 |
Source : lmfdb.org/zeros/zeta/ · tous vérifiés sur la droite critique à la précision connue · le projet Riemann_Lab a validé 10 142 zéros jusqu'à $T=10\,000$ (Turing OK).
Conjecture (B. Riemann, 1859 — non prouvée) :
Autrement dit : tous les zéros non-triviaux sont sur la droite critique. Ce n'est pas prouvé. On l'a vérifié numériquement pour les $1{,}5\times 10^{13}$ premiers zéros (Platt-Trudgian 2021). Si un contre-exemple existait avec $\text{Re}(\rho)\neq\tfrac{1}{2}$, l'équation fonctionnelle forcerait l'existence d'un second zéro symétrique — et la formule de von Mangoldt
serait perturbée de façon mesurable. C'est l'objet du curseur "HR ?" ci-dessus : déplace un zéro hors de $\tfrac{1}{2}$ et observe la paire de symétriques qui apparaît.