Riemann_Lab — Cours animé · Fonction Gamma Γ(s) Auteur : hprzeta · Mise à jour : 6 juin 2026

La fonction Gamma $\Gamma(s)$

Extension analytique de la factorielle, pôles aux entiers négatifs, équation fonctionnelle, et lien avec $\zeta$ via la fonction $\xi$.

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1. Définition — intégrale d'Euler

Pour $\text{Re}(s) > 0$, la fonction Gamma est définie par l'intégrale d'Euler de deuxième espèce :

$$\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,dt$$

Elle généralise la factorielle : $\Gamma(n) = (n-1)!$ pour tout entier $n \geq 1$. La relation fonctionnelle fondamentale est :

$$\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s)$$

Cette relation permet de prolonger $\Gamma$ à tout $\mathbb{C}$ sauf aux pôles simples en $s = 0, -1, -2, -3, \ldots$ avec résidu $(-1)^n/n!$ en $-n$.

2. Pôles aux entiers négatifs

En s'appuyant sur $\Gamma(s) = \Gamma(s+n+1)/[s(s+1)\cdots(s+n)]$, on voit que $\Gamma(s)$ a des pôles simples en tous les entiers $\leq 0$. En ces points, $1/\Gamma(s) = 0$ (fonction entière !). Les résidus sont :

$$\text{Res}_{s=-n}\,\Gamma(s) = \frac{(-1)^n}{n!}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots$$
Animation A — $\Gamma(x)$ pour $x$ réel, pôles et équation fonctionnelle
x = 2.00 Γ(x) = 1.000 x·Γ(x) = Γ(x+1) = 2.000
Valeur de $x$ 2.00
Γ(x) > 0 Γ(x) < 0 pôles (asymptotes) position courante

3. Équation fonctionnelle et formule de réflexion

La formule de réflexion d'Euler (1739) :

$$\Gamma(s)\,\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin(\pi s)}$$

Conséquences : pour $s = \tfrac{1}{2}$, on obtient $\Gamma(\tfrac{1}{2})^2 = \pi$, soit $\Gamma(\tfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$. La formule de doublement de Legendre :

$$\Gamma(s)\,\Gamma\!\left(s+\tfrac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2s-1}}\,\Gamma(2s)$$
Animation B — $|\Gamma(\sigma+it)|$ sur la droite critique $\sigma = \tfrac{1}{2}$ et comportement en $t$
t = 5.00 |Γ(½+it)| = — √(π/cosh(πt)) = —
Valeur de $t$ (partie imaginaire) 5.0
|Γ(½+it)| calculé (Lanczos) formule exacte √(π/cosh(πt)) position courante

4. Lien avec $\zeta$ — la fonction $\xi$

La fonction complétée de Riemann $\xi(s)$ est construite pour avoir exactement les mêmes zéros que $\zeta$ et satisfaire l'équation fonctionnelle $\xi(s) = \xi(1-s)$ :

$$\xi(s) = \tfrac{1}{2}\,s(s-1)\,\pi^{-s/2}\,\Gamma\!\left(\tfrac{s}{2}\right)\,\zeta(s)$$

Les facteurs ont chacun un rôle :

La factorisation de Hadamard de $\xi$ sur ses zéros est donc équivalente à la factorisation de $\zeta$ sur ses zéros non-triviaux.

5. Formule de Stirling pour $|\Gamma(s)|$

Pour $|s| \to \infty$ avec $\text{Re}(s)$ borné :

$$|\Gamma(\sigma+it)| \sim \sqrt{2\pi}\,|t|^{\sigma-1/2}\,e^{-\pi|t|/2}$$

En particulier sur la droite critique $\sigma=\tfrac{1}{2}$, la formule exacte est :

$$\left|\Gamma\!\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\right|^2 = \frac{\pi}{\cosh(\pi t)} \xrightarrow{t\to\infty} 2\pi\,e^{-\pi t}$$

Le module de $\Gamma$ sur la droite critique décroît exponentiellement en $t$. C'est ce facteur qui contrôle la taille de $\zeta$ via l'équation fonctionnelle.

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