Riemann_Lab — Cours animé · ζ dans le plan complexe Auteur : hprzeta · Mise à jour : 6 juin 2026

$\zeta(s)$ dans le plan complexe

Module $|\zeta(\sigma+it)|$, pôle en $s=1$, zéros sur la droite critique, et bande critique $0 < \text{Re}(s) < 1$ — visualisation interactive.

Retour au tableau de bord · série de Dirichlet · θ(t) · zéros

1. Structure de $\zeta$ dans $\mathbb{C}$

La fonction $\zeta(s)$ est définie sur $\mathbb{C}\setminus\{1\}$ et possède les caractéristiques suivantes :

Un pôle simple en $s = 1$ : $|\zeta(\sigma+it)| \to +\infty$ quand $s \to 1$
Zéros triviaux en $s = -2, -4, -6, \ldots$ (sur l'axe réel négatif)
Zéros non-triviaux dans la bande critique $0 < \text{Re}(s) < 1$ — à ce jour tous vérifiés sur la droite $\text{Re}(s) = \tfrac{1}{2}$
Symétrie : $\zeta(\bar{s}) = \overline{\zeta(s)}$ (valeurs réelles sur l'axe réel)

2. La bande critique $0 < \text{Re}(s) < 1$

La bande critique est la région fondamentale de la théorie analytique des nombres premiers. Dans cette bande :

\zeta\!\left(\tfrac{1}{2}+it\right) = e^{-i\theta(t)}Z(t), \quad Z(t)\in\mathbb{R} \qquad \text{(sur la droite critique)}

L'équation fonctionnelle $\xi(s)=\xi(1-s)$ impose que les zéros soient symétriques par rapport à la droite $\text{Re}(s)=\tfrac{1}{2}$. L'HdR affirme qu'ils sont tous sur cette droite.

Heatmap $|\zeta(\sigma+it)|$ dans le plan complexe — plus clair = module plus grand, pôle = jaune vif, zéro = noir

σ = 0.50 t = 20.0 |ζ(σ+it)| ≈ —

Les lignes croisées indiquent la position des curseurs. Calcul via série η alternée (50 termes).

Ligne $\sigma$ (curseur vertical) 0.50

Ligne $t$ (curseur horizontal) 20.0

zéro (|ζ|→0) pôle en s=1 droite critique Re(s)=½ bande critique 0<Re(s)<1

Coupes — $|\zeta(\sigma+it)|$ le long des deux lignes

coupe verticale σ=cst, t varie coupe horizontale t=cst, σ varie

3. Calcul numérique — série η alternée

Pour $\text{Re}(s) > 0$, $s \neq 1$ :

\zeta(s) = \frac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^s}

Avec $M=50$ termes, la précision est suffisante pour la visualisation (erreur $\sim M^{-\text{Re}(s)}$ pour les régions visibles). Le pôle en $s=1$ est rendu visible par la divergence de $1/(1-2^{1-s})$ quand $s\to 1$.

Riemann_Lab · branche Riemann_Lab_IA · docs/animation_plan_complexe.html Mise à jour : 6 juin 2026 · Auteur : hprzeta · lignes