Riemann_Lab — Cours animé · Produit eulérien Auteur : hprzeta · Mise à jour : 6 juin 2026

Le produit eulérien $\zeta(s) = \displaystyle\prod_{p\,\text{premier}} \frac{1}{1-p^{-s}}$

Comment chaque nombre premier contribue à $\zeta$, le lien avec la distribution des premiers, et la preuve de l'infinité des nombres premiers.

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1. La formule d'Euler (1737)

Pour $\text{Re}(s) > 1$, Euler a découvert la factorisation en produit sur les nombres premiers :

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p\;\text{premier}} \frac{1}{1-p^{-s}}$$

C'est une conséquence directe du théorème fondamental de l'arithmétique : tout entier $n \geq 1$ se factorise de manière unique en produit de nombres premiers. En développant chaque facteur $\tfrac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{k=0}^{\infty} p^{-ks}$ et en multipliant sur tous les premiers, on regénère exactement la somme $\sum n^{-s}$.

2. Idée de la démonstration

Chaque facteur eulérien est une série géométrique :

$$\frac{1}{1-p^{-s}} = 1 + p^{-s} + p^{-2s} + p^{-3s} + \cdots$$

En développant le produit sur les premiers $2, 3, 5, 7, \ldots$ et en regroupant par la décomposition de chaque entier, on obtient :

$$\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$$

La convergence est absolue pour $\text{Re}(s) > 1$. Conséquence immédiate : si les nombres premiers étaient finis, le produit serait fini et $\zeta(s)$ serait bornée près de $s=1$ — mais $\zeta(s) \to +\infty$ quand $s \to 1^+$. Donc il y a une infinité de premiers (preuve d'Euler, plus forte que celle d'Euclide).

Animation — convergence du produit partiel $P_k(\sigma) = \prod_{p \leq p_k} (1-p^{-\sigma})^{-1}$ vers $\zeta(\sigma)$
σ = 2.00 premiers : 15 p_k = 47 P_k = 0.000 ζ(σ) ≈ 0.000 écart = 0.000
Exposant $\sigma$ (Re(s), doit être > 1) 2.00
Nombre de premiers inclus ($k$) 15
produit partiel P_k(σ) ζ(σ) exact (5000 termes) écart relatif

3. Contribution des premiers (σ = 2)

RangPremier $p$Facteur $(1-p^{-2})^{-1}$Produit cumuléÉcart vs $\pi^2/6$

La valeur exacte est $\zeta(2) = \pi^2/6 \approx 1{,}644934$.

4. Lien avec la distribution des nombres premiers

Le produit eulérien crée un pont direct entre les zéros de $\zeta$ et la distribution des premiers. En prenant le logarithme :

$$\ln\zeta(s) = -\sum_{p} \ln(1-p^{-s}) = \sum_{p}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\,p^{ks}} = \sum_{p}\frac{1}{p^s} + O(1) \quad \text{près de } s=1$$

La formule explicite de Riemann exprime $\pi(x)$ (nombre de premiers $\leq x$) en fonction des zéros $\rho$ de $\zeta$ :

$$\pi(x) = \text{Li}(x) - \sum_{\rho}\text{Li}(x^{\rho}) - \ln 2 + \int_x^{\infty}\frac{dt}{t(t^2-1)\ln t}$$

Chaque zéro $\rho_n = \tfrac{1}{2}+i\gamma_n$ crée une oscillation dans $\pi(x)$ de fréquence $\gamma_n$ et d'amplitude $\sim x^{\sigma_n}/|\rho_n|$. Si l'HdR est vraie ($\sigma_n = \tfrac{1}{2}$ pour tout $n$), ces oscillations sont les plus faibles possibles, et le théorème des nombres premiers a la meilleure forme :

$$|\pi(x) - \text{Li}(x)| = O\!\left(\sqrt{x}\,\ln x\right)$$

5. Produit de Hadamard et zéros

$\zeta(s)$ admet également une factorisation de Hadamard sur ses zéros :

$$\xi(s) = \xi(0)\prod_{\rho}\left(1-\frac{s}{\rho}\right), \qquad \xi(s) = \tfrac{1}{2}s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma\!\left(\tfrac{s}{2}\right)\zeta(s)$$

où le produit porte sur tous les zéros non-triviaux $\rho$. Ce produit converge absolument pour tout $s$ (sauf les pôles de $\Gamma$). La connexion entre le produit eulérien (sur les premiers) et le produit de Hadamard (sur les zéros) est au cœur du lien nombres premiers ↔ zéros de $\zeta$.

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