Riemann_Lab — Cours animé · Série de Dirichlet Auteur : hprzeta · Mise à jour : 6 juin 2026

Convergence de $\zeta(s) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$

Comment la série de Dirichlet converge pour $\text{Re}(s)>1$, diverge pour $\text{Re}(s)\leq 1$, et comment $\zeta$ s'étend à tout $\mathbb{C}$ par prolongement analytique.

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1. La série de Dirichlet

Pour $s = \sigma + it$ avec $\sigma = \text{Re}(s) > 1$, la série converge absolument :

\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots

Chaque terme $\tfrac{1}{n^s} = n^{-\sigma} e^{-it\ln n}$ est un nombre complexe de module $n^{-\sigma}$. La convergence absolue requiert $\sum n^{-\sigma} < \infty$, ce qui équivaut exactement à $\sigma > 1$ (critère de Riemann-Bertrand).

2. Trois régimes selon $\text{Re}(s)$

$\sigma > 1$ : convergence absolue. La somme partielle $S_N(\sigma) = \sum_{n=1}^N n^{-\sigma}$ converge vers $\zeta(\sigma)$.
$\sigma = 1$ : divergence logarithmique. $S_N(1) = H_N \sim \ln N + \gamma$ où $\gamma \approx 0.5772$ est la constante d'Euler.
$\sigma < 1$ : divergence plus rapide ($S_N(\sigma) \sim \tfrac{N^{1-\sigma}}{1-\sigma}$). Pourtant $\zeta$ y est définie par prolongement analytique.

Prolongement analytique : via l'équation fonctionnelle $\xi(s) = \xi(1-s)$ ou la série alternée $\eta(s) = (1-2^{1-s})\zeta(s) = \sum (-1)^{n+1}/n^s$ (convergente pour $\text{Re}(s)>0$), on définit $\zeta(s)$ sur tout $\mathbb{C}$ sauf en $s=1$ (pôle simple).

Animation — convergence de la somme partielle $S_N(\sigma) = \sum_{n=1}^{N} n^{-\sigma}$

σ = 2.00 N = 50 S_N(σ) = 0.000 ζ(σ) ≈ 0.000 écart = 0.000

Exposant $\sigma$ (partie réelle de $s$) 2.00

Nombre de termes $N$ 50

S_N(σ) — somme partielle ζ(σ) — valeur exacte divergence (σ ≤ 1) σ courant

3. La frontière $\sigma = 1$

En $\sigma=1$ : la série harmonique $\sum 1/n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots$ diverge — c'est un résultat classique connu depuis N. Oresme (~1360). La divergence est lente (logarithmique) : il faut $e^{10} \approx 22\,000$ termes pour dépasser 10 !

Pourtant, pour $\sigma = 1$ et $t \neq 0$ (c'est-à-dire $s = 1+it$ avec $t \neq 0$), la série converge conditionnellement. Cela illustre la richesse du plan complexe : la frontière de convergence dépend à la fois de $\sigma$ et de $t$.

Le pôle de $\zeta$ en $s=1$ est un pôle simple de résidu 1 :

\lim_{s\to 1}(s-1)\,\zeta(s) = 1

4. Valeurs remarquables de $\zeta(\sigma)$ pour $\sigma$ réel

$\sigma$	$\zeta(\sigma)$	Formule exacte	Termes pour $10^{-3}$ de précision
2	1,644 934…	$\pi^2/6$	1 000
3	1,202 057…	Apéry (irrationnel)	100
4	1,082 323…	$\pi^4/90$	30
1,5	2,612 375…	—	10 000
1,1	10,584 448…	—	> 10⁶
1	+∞	série harmonique	diverge
0	−1/2	prolongement (Ramanujan)	—
−1	−1/12	prolongement (physique)	—

Les valeurs pour σ ≤ 1 sont définies par prolongement analytique, pas par la série de Dirichlet.

5. Prolongement analytique par la série alternée

La fonction $\eta$ de Dirichlet converge pour $\text{Re}(s) > 0$ :

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = 1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots = \left(1 - 2^{1-s}\right)\zeta(s)

Pour $s \neq 1$ et $\text{Re}(s) > 0$ :

\zeta(s) = \frac{\eta(s)}{1 - 2^{1-s}}

Ce prolongement est utilisé numériquement dans l'animation pour calculer $\zeta(\sigma)$ hors du domaine $\sigma>1$. Il permet d'atteindre la bande critique $0 < \sigma < 1$ où vivent les zéros non-triviaux.

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